EE261 Lecture 15

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这次回顾第十五讲，这一讲介绍了傅里叶分析对于衍射现象的解释。

这部分讨论夫琅禾费衍射，其现象如下图

实验形式如下

假设Aperture plane一点距离P的距离为$r$。

这里主要的疑惑点是为什么明暗条纹不等间隔，注意明暗条纹对应于能量，这里假设能量场为

$$E=E_{0} e^{2 \pi i \nu t}$$

注意从Aperture plane到Image plane的周期数量为$\frac r\lambda$，所以

$$d E=E_{0} e^{2 \pi i \nu t} e^{2 \pi i r / \lambda} d x$$

所以Image plane的电场为

$$E=\int_{\text { apertures }} E_{0} e^{2 \pi i \nu t} e^{2 \pi i r / \lambda} d x=E_{0} e^{2 \pi i \nu t} \int_{\text { apertures }} e^{2 \pi i r / \lambda} d x$$

考虑下图

在夫琅禾费衍射条件下

$$r\gg x$$

所以

$$r=r_{0}-x \sin \theta$$

带入上式得到

$$E=E_{0} e^{2 \pi i \nu t} e^{2 \pi i r_{0} / \lambda} \int_{\text { apertures }} e^{-2 \pi i x \sin \theta / \lambda} d x$$

假设apertures可以用函数$A(x)$描述，那么

$$E \propto \int_{-\infty}^{\infty} A(x) e^{-2 \pi i x \sin \theta / \lambda} d x$$

引入参数

$$p=\frac{\sin \theta}{\lambda}$$

所以

$$E \propto \int_{-\infty}^{\infty} A(x) e^{-2 \pi i p x} d x$$

即能量正比于$A(x)$的傅里叶变换在$p=\frac{\sin \theta}{\lambda}$的值。

来看几个具体情形

单缝衍射

此时

$$A(x)=\Pi_{a}(x)$$

那么

$$E \propto a \operatorname{sinc} a p=a \operatorname{sinc}\left(\frac{a \sin \theta}{\lambda}\right)$$

杨氏双缝

此时

$$A(x)=\Pi_{a}(x-b / 2)+\Pi_{a}(x+b / 2)$$

那么

$$\begin{aligned} E(p) & \propto(2 \cos \pi b p)(a \operatorname{sinc} a p) \\ &=2 a \cos \left(\frac{\pi b \sin \theta}{\lambda}\right) \operatorname{sinc}\left(\frac{a \sin \theta}{\lambda}\right) \end{aligned}$$

两孔成像

此时

$$A(x)=\delta(x-b / 2)+\delta(x+b / 2)$$

那么

$$E(p) \propto 2 \cos \pi b p=2 \cos \left(\frac{\pi b \sin \theta}{\lambda}\right)$$

$\mathcal F\delta =1$的物理学解释

如果只有一个小孔，观察到的现象为光的明暗程度相同，这是因为

$$E \propto \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) e^{-2 \pi i p x} d x$$

这解释了$\delta$的傅里叶变换为$1$。